HISTOIRE ALGEBRIQUE

Chacun a entendu la ritournelle : « les arabes ont inventé l’algèbre » ; « les arabes, en inventant l’algèbre, ont ensemencé dans un Occident barbare la connaissance, la science, la raison » ; « les arabes sont nos maîtres à tous » ; « les arabes über alles » ; ou encore, selon la nazie Undke, « le soleil d’Allah brille sur l’Occident », etc. Serinée depuis des décennies, elle est gobée d’un coup. Or, il suffit d’un bref examen pour dissiper les brumes de la propagande. 

Le sens du mot – ou plutôt son référent, ce qu’il désigne – ne soulève pas de difficultés pour nous, aujourd’hui. Il n’en a pas toujours été ainsi dans les siècles antérieurs. Furetière (Dictionnaire universel, 1690) a quelques difficultés à se représenter ce qu’est l’algèbre : « (elle) considère les grandeurs et s’applique aux nombres, aux lignes, aux figures, aux poids, et aux vitesses des mouvements tant en général qu’en particulier, en faisant abstraction de toutes matières : de sorte qu’on pourrait appeler géométrie métaphysique (…) ». Pour illustrer cette définition, il énumère les signes (ou « notes ») de l’algèbre : « + signifie plus : ainsi 9 + 3 veut dire, 9 plus 3 ; - signifie moins : ainsi 14 - 2 veut dire, 14 moins 2 ; = est la note de l’égalité : ainsi 9 + 3 = 14 - 2 veut dire, neuf plus trois est égal à quatorze moins deux ; : : ces quatre points entre deux termes devant et deux termes après marquent que les quatre termes sont en proportion géométrique : ainsi 6.2 : : 12.4. Veut dire : comme 6 est à deux, ainsi 12 est à quatre ; ces deux points : au milieu marquent la proportion arithmétique entre ces nombres : ainsi 7.3 : 13.9. Veut dire : 7 surpasse 3, comme 13 surpasse 9 ; deux lettres ensemble marquent une multiplication de deux nombres : ainsi bd est le produit de deux nombres, comme 2 et 4, dont le premier s’appelle b et l’autre d ».

« On ne se sert plus guère que de l’algèbre spécieuse », précisent les académiciens en 1718. Il semble que Furetière en soit resté à l’algèbre numérique, si bien que l’on se demande si les exemples illustrent vraiment ce qui a été défini. Ils sont même si simples qu’ils rendent incompréhensible l’emploi figuré du mot : « on dit figurément, quand quelqu’un n’entend rien à quelque chose qu’il lit ou qu’il écoute, que c’est de l’algèbre pour lui ». En effet, il faut être bouché à l’émeri pour ne rien entendre à 2 + 2 = 4. La définition de la première édition du Dictionnaire de l’Académie française (1694) est poussive. L’algèbre est une « espèce d’arithmétique universelle qui considère le plus et le moins en tout genre, et qui se sert des lettres de l’alphabet et d’autres signes au lieu des chiffres ordinaires ». De toute évidence, les académiciens d’alors n’en étaient guère familiers. Trois siècles plus tard, il semble qu’elle ait été apprivoisée : (DAF, neuvième édition, en cours de publication depuis 1994) : « branche des mathématiques dans laquelle, les grandeurs et les nombres étant représentés par des lettres, les problèmes sont résolus par des formules », et Trésor de la langue française (1971-94) : « branche des mathématiques ayant pour objet de simplifier et de résoudre au moyen de formules des problèmes où les grandeurs sont représentées par des symboles, et d’en généraliser les résultats ».

Le mot, attesté à la fin du XIVe siècle, est emprunté du latin médiéval, algebra, formé au XIIe siècle par un érudit lombard, Gerardo de Cremona (1114-1187), qui a résidé à Tolède pour traduire en latin des ouvrages de savants arabes, dont un traité d’Al Khawarizmi, publié en 825 : ilm al djabr wa al muqabala, mot à mot « science des réductions et des comparaisons », al djabr étant dérivé du verbe DJBR, qui a pour sens « réduire ». Le mot, emprunté du latin, est d’origine arabe. Les auteurs de dictionnaires en conviennent, Ménage (1613-1692), le premier dans son Dictionnaire étymologique de la langue française (1650) : « Algebra vient de l’arabe Algiabarat, de la racine giabara qui signifie reparauit, roborauit, concinnauit, refecit, parce que l’algèbre est la perfection, et comme la réparation de l’arithmétique, laquelle les arabes appellent Altaksir, fraction ». L’explication est peut-être confuse, mais elle est exacte pour ce qui est de l’étymologie.

Furetière la reprend (« Ménage dérive ce mot de l’arabe Algebra (en fait du latin), qui signifie le rétablissement d’un os rompu, de la racine giabara, supposant que la principale partie de l’algèbre est la considération des nombres rompus (…) »), de même que Thomas Corneille (Dictionnaire des arts et des sciences, 1694), d’Alembert (article algèbre de L’Encyclopédie, 1751-64), Littré (Dictionnaire de la langue française, 1863-77 : « de l’arabe al, le, et djebr, réunion de plusieurs parties séparées ; en mathématiques, réduction des parties au tout ou des fractions à l’intégralité, de djabara, il a relié, consolidé, réuni » ; « les Arabes ont désigné l’algèbre par les deux mots algebra et almuchabala, qui veulent dire restauration et opposition et se rapportent assez bien aux deux opérations les plus fréquentes dans l’emploi des équations, savoir l’addition d’une même quantité ou la soustraction d’une même quantité aux deux membres d’une équation ») ; les rédacteurs du Trésor de la langue française (qui précisent que c’est le mot du latin médiéval qui est emprunté de l’arabe) et les académiciens (neuvième édition : « emprunté, par l’intermédiaire du latin médiéval, de l’arabe aldjabr, « contrainte », « réduction (de l’arithmétique à une forme plus parfaite) »).

 Le fait que le mot soit emprunté à l’arabe, par le biais de la traduction d’un traité de 825 en latin médiéval, ne prouve pas l’antériorité de la chose. Gerardo de Cremona s’est contenté, par paresse ou parce qu’il ne parvenait pas à le traduire, de latiniser le mot al djebr ; mais de l’impuissance d’un traducteur, on ne peut rien inférer de la naissance ou de l’origine de l’algèbre. Dès le XVIIe siècle, les auteurs de dictionnaires se sont bien gardés de faire ce saut aventuré. Furetière, le premier, note en 1690 : « Scriverius en attribue l’invention à Diophante, auteur grec, dont Regiomontanus a recueilli treize livres, qui ont été commentés par Gaspard Bachet, Sieur de Meziriac, de l’Académie française ». Diophante, qui était sans doute originaire de Babylone,  vivait dans l’Alexandrie hellène du IIIe siècle de notre ère, laquelle était alors intégrée à l’Empire romain, tandis que les arabes conduisaient leurs troupeaux de chameaux d’oasis en oasis et avaient d’autres préoccupations que de fonder une science mathématique.

D’Alembert (L’Encyclopédie, 1751-64) en établit une généalogie plus précise : « Quant à l’origine de cet art, nous n’avons rien de fort clair là-dessus : on en attribue ordinairement l’invention à Diophante, auteur grec, qui en écrivit treize livres, quoiqu’il n’en reste que six (…) On croit que cet art a été fort cultivé par les arabes : on dit même que les arabes l’avaient reçu des Perses et les Perses des Indiens. On ajoute que les arabes l’apportèrent en Espagne, d’où, suivant l’opinion de quelques-uns, il passa en Angleterre avant que Diophante y fût connu ». Autrement dit, c’est par ignorance que les Occidentaux, un temps, ont placé l’origine de l’algèbre chez un auteur arabe. Littré (1863-77) dévoile, sans le vouloir, la fausseté de cette origine : « algèbre littérale, algèbre qui emploie les lettres de l’alphabet, ainsi nommée pour la distinguer de l’algèbre des arabes et des écrivains de la Renaissance, qui n’employaient que des nombres ». Et Littré de citer le nom de l’inventeur de l’algèbre littérale ou spécieuse, la véritable algèbre, François Viète (1540-1603) : « Viète, écrit-il, est l’inventeur de l’algèbre littérale ». Les anciens lexicographes le citent aussi, Corneille (1694 : « M. Viète, qui vivait encore du temps du cardinal de Richelieu, est l’inventeur de l’algèbre spécieuse.

Le fameux Descartes a dit que par le moyen de cette dernière, il pouvait résoudre tout problème proposé, pourvu qu’il pût être résolu ») et surtout d’Alembert, pour qui Viète a effectué sept découvertes importantes : « la première, c’est d’avoir introduit dans les calculs les lettres de l’alphabet pour désigner même les quantités connues ; la seconde, c’est d’avoir imaginé presque toutes les transformations des équations, aussi bien que les différents usages qu’on en peut faire pour rendre plus simples les équations proposées ; la troisième, c’est la méthode qu’il a donnée pour reconnaître par la comparaison de deux équations, qui ne différeraient que par les signes, quel rapport il y a entre chacun des coefficients qui leur sont communs et les racines de l’une et de l’autre ; la quatrième, c’est l’usage qu’il fait des découvertes précédentes pour résoudre généralement les équations du quatrième degré, et même celles du troisième ; la cinquième, c’est la formation des équations composées par leurs racines simples, lorsqu’elles sont toutes positives, ou la détermination de toutes les parties de chacun des coefficients de ces équations ; la sixième et la plus considérable, c’est la résolution numérique des équations, à l’imitation des extractions de racines numériques, matière qui fait elle seule l’objet d’un livre tout entier ; enfin on peut prendre pour une septième découverte ce que Viète a enseigné de la méthode pour construire géométriquement les équations ». Les arabes n’ont eu aucune part à l’élaboration de cette algèbre-là, sinon le nom qui lui a été donné.  

Il faut vraiment que les idéologues et autres consciencieux du social du CNRS et de l’EHESS soient épris des arabes ou aient abandonné tout sens commun pour qu’ils fassent de ces peuples les inventeurs de tout ce qui est sur la terre, de toutes les sciences, de tous les arts, de toutes les techniques, sauf de la Bêtise.